高联考后诸葛亮

通过必要时重排 (a_i)，设 x_1>x_2>\cdots>x_n．则有

|a_1|=\left|\sum_{i=2}^na_i\frac{x_i!}{x_1!}\right|\le\sum_{i=2}^n\left|a_i\frac{x_i!}{x_1!}\right|\le\frac{1}{x_1}\sum_{i=2}^n|a_i|.

但在 x_1>\sum_{i=2}^n|a_i/a_1| 时不能成立，因此 \max(x_1, \cdots, x_n) 有上界．

首先考虑 n 为奇数的情况．此时 2\mid(2^n-2)，而且 (2^n-2)/n>2，因此得证．

再考虑 n 为偶数的情况，此时有 \frac{n}{2}\mid(2^{n-1}-1)．若 n-1 为合数，令 n=pq+1，且 p>q，则 (2^p-1)\mid(2^{pq}-1)，且 2^p-1>\frac n2，得证．

最后考虑 n 为质数加 1 的情况．设 n=p+1=2q，则 2^p\equiv1\pmod{q}．设 2 在 \mathbb{Z}_{q}^\times 中的阶为 d，则 d\mid p 且 d\le\vphi(q)\le q，只可能 d=1，但显然 2^1\equiv2\not\equiv1\pmod{q}. 矛盾，因此这种情况不存在．

综上，原命题得证．