\det(I-AA^T)=\det(I-A^TA)

昨天赖同学告诉我的一个结论，这里把证明详细地写一写．

\det(I-AA^T)=\det(I-A^TA)，其中 A 是任意复矩阵，I 的维数和旁边的矩阵相同．

我们首先证明 A 是可逆的方阵的情况，再依次推广到方阵和一般的情况．

当 A 是可逆方阵时，AA^T 与 A^TA 相似，进而 I-AA^T 也与 I-A^TA 相似，得证．

假设 A 是 n\times n 的矩阵，将原命题视为 \det(I-AA^T)-\det(I-A^TA)=0，则等式左侧是关于 A 的 n^2 个系数的多项式．\GL_n(\mathbb C) 显然不是一条代数曲线，因此这个多项式实际上就是零多项式．

当 A 不是方阵的时候，用 0 将其补成一个方阵不会影响等式左右的值，因此最一般的情况也证明完毕．

由此也可以推出 A 的元素是其他环的元素的情况．（\det(I-AA^T)-\det(I-A^TA) 显然是整系数多项式）