\cos(2\pi/17)

人真的可以很无聊．本来想着复习一下高考的，一不留神又打开了数论书，一不留神就开始算 \cos(2\pi/17) 了，结果快整个上午都没了．虽然 \zeta_{17} 可以用尺规作出很好理解，在计算的过程中还是遇到了一些困难．

先复习一下：若 p 是奇质数，\zeta_p 在 \Q 上的最小多项式是 x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1，\Gal(\Q(\zeta_p)/\Q)\approx\Z_p^\times\approx C_{p-1}，而尺规可以做的域扩张都是二次扩域．如果可以作出 p 边形，就要求在 C_{p-1} 里能找到从 \{1\} 开始，到 C_{p-1} 的子群链，使得下一个子群除以上一个子群是 C_2．这意味着 p-1=2^k．

1796 年高斯就发现了正十七边形可以用尺规作出．十七边形是最小的比较难作的正质数边形，所以用来打发时间的话是个比较好的选择．

为了计算出 \cos(2\pi/17)，我们要选择 \Gal(\Q(\zeta_{17})/\Q) 里一条合适的中间域链以及合适的生成元．模 17 的一个原根是 g=3．如果用 \Z_p^\times 的子群表示，我们要从 \Q 对应的 \{g^k\} 开始，扩展到 \{g^{2k}\}，再到 \{g^{4k}\} 和 \{g^{8k}\}．因为 \cos(2\pi/17)=(\zeta+\zeta^{-1})/2，到这一步就可以了．生成元很好找，我选的是 \zeta 在所有的自同构下像的和．下面为了简便，用 [a_1, a_2, \cdots, a_n] 代表 \sum \zeta^{a_i}．

为了求出 A, B, C，我们要求出它们在前一个域上的最小多项式．我们只要求出它们的平方，然后消元就可以了．要注意的是求 B 或 C 的时候多项式的系数就可以不是有理数了．我的方法是在求 B 的时候不止把 B^2, B 表示出来，而且要表示出 AB^2, AB 表示出来．按理来讲求 C 的时候也需要这样，而且要计算 B^3，但非常幸运，我只算了两个式子就可以消去不在系数域里的数了．最后找到的方程如下：

A^2+A-4=0, (A+4)B^2-(3A+4)B-(A+4)=0 2C^2-2BC+(B^2+B-A-4)=0 C=2\cos\frac{2\pi}{17}

所以 \cos\frac{2\pi}{17}=\frac{\sqrt{17}-1+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{4(3\sqrt{17}+17)-(\sqrt{17}+3)\sqrt{8(17-\sqrt{17})}}}{16}.